余りが同じ・割る数と余りの【差】が同じ（割り算）系問題のテクニック!（商と余り②）
これは【割り算】の話です。ポイントは「最小公倍数」です。
余りが同じ・差が同じ（割り算）系問題のテクニック!
余りが同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）＋余り
割る数と余りの【差】が同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）－差
これは感覚的に納得できそうですし、問題をある程度解いていくと体で覚えられる気もします。
余りが同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）＋余り
問題）４で割っても５で割っても３余る整数を小さい順に3つ答えてください。
余りが同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）＋余り
モロにそのままこの公式が使えます。
４と５の最小公倍数は20です。
20＋3＝23
最小公倍数（の倍数）＋余り
ですから、
43（40＋３）、63〔60＋3〕となります。
答え）23、43、63
問題）武蔵中学
42で割っても、56で割っても2余る４けたの整数のうち最も小さい数は□です。
まずは
42で割っても、56で割っても2余る整数
を考えます。
余りが同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）＋余り
２）42 56
７）21 28
３ ４
2×7×3×４＝168
168＋2＝170 が最小の整数ですね。
「168の倍数＋２」で増えていくので、
999÷168＝５余り159
168×６＝1008
1008＋2＝1010
答え）1010
ちなみに、1010÷42＝24余り２、1010÷56＝18余り２ OK!!
割る数と余りの【差】が同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）－差
こちらは、
「割る数と余りの【差】が同じ」
これを見落とさないようにしないといけません。
問題）６で割ると２余り、８で割ると４余る１００に最も近い整数はいくつですか？
こんな感じの問題です。
「どこが『同じ』や！」とならないように。
6－2＝４、8－4＝４
割る数と余りの【差】が同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）－差
２）６ ８
３ ４
6と8の最小公倍数は2×3×４＝24
24－4＝20 ２０が最小の整数。
「24の倍数ー4」で大きくなっていくので、
24×4＝96 96－4＝92
念のため、24×５＝120 120－4＝116。92の方が近いですね。
答え〕92
問題）5で割ると2余り、7で割ると4余る最小の整数は？
割る数と余りの「差」が3で同じです。
5×7＝35、35－3＝32
答え）32
余りも・割る数と余りの差も【同じでない】系の問題：自力で1つ見つける→最小公倍数
余りも・割る数と余りの差も【同じでない】系の問題があります。
その場合、以下のように解いてください。
①自力で1つ目を見つける
②一つ目の数字に、割る数の最小公倍数（の倍数）を足していく
式：自力の数字＋割る数の最小公倍数×必要な数字
実際に問題を解くのが一番理解が速いでしょう。
問題）４で割ると３余り、７で割ると２余る整数のうち、２番目に小さな整数は？
まず「余りが同じでない」「割る数と余りの差も同じでない」ので、
①自力で1つ目を見つける
②一つ目の数字に、割る数の最小公倍数（の倍数）を足していく
式：自力の数字＋割る数の最小公倍数×必要な数字
これでいきます。「割る数×整数＋余り」で書き出します。
「4で割ると3余る」→３、７、11、15、19、23、27～～～
「7で割ると2余る」→２、９、16、23、３０
（「0」から始めるように！なので最初は余りの数字である３と２です）
４で割ると３余り、７で割ると２余る整数
で一番小さいのは、23ですね。
その後は、4と7の最小公倍数である28ごとに「４で割ると３余り、
７で割ると２余る整数」が出てきます。
②一つ目の数字に、割る数の最小公倍数（の倍数）を足していく
式：自力の数字＋割る数の最小公倍数×必要な数字
23＋28×１＝51、23＋28×２＝79
順番としては、23、51、79
求めるのは2番目に小さい整数なので、
答え）51
問題）7で割ると3余り、4で割ると1余る、400に最も近い数は？
「余りが同じでない」「割る数と余りの差も同じでない」
①自力で1つ目を見つける
②一つ目の数字に、割る数の最小公倍数（の倍数）を足していく
式：自力の数字＋割る数の最小公倍数×必要な数字
１）7で割ると3余る→３、10、17、24、31
２）4で割ると1余る→１、５、９、13、17、21
３）「7で割ると3余り、4で割ると1余る」一番小さい整数は17
４）以降は7と4の最小公倍数28ごとに「7で割ると3余り、4で割ると1余る」が出てくる
５）17＋28×０、17＋28×１～～～～～～～～大変です
６）400÷28＝14余り８、28×14＝392、392＋17＝409
答え）409
「差」は17なので大丈夫ですが、こういう時は念のため、前の
数字も確認しましょう。28×13＝364、364＋17＝381、409の方が400に近いですね。
商と余りの中学入試問題等
問題）巣鴨中学
100から1000までの整数の中で、5で割ると3余り、7で割ると4余る数は何個ありますか？
●余り同じでない！ ●割る数と余りの差が同じでない！
1〕自力で一つ目！
5で割ると3余り→３、８、13、18、23、28、33
7で割ると4余り→４、11、18、25
２）以降は5と7の最小公倍数35の倍数ごとに出てくる
式：18＋35×適当な数字
「100から1000までの整数の中」なので、
1000÷35＝28余り20 35×28＝980、980＋18＝998
「適当な数字」の最大は28
1000までの整数の中に、5で割ると3余り、7で割ると4余る数は
1＋28＝29個ある。「適当な数字」に0を入れた場合の18を忘れないように！
100未満には、
18、18＋35＝53、18＋35×２＝88、３つある。
よって、29－3＝26
答え）26個
問題）浅野中学
3で割ると2余り、4で割ると2余り、5で割ると2余るような７の倍数の
中で小さい方から2番目の数は？
「余りが同じ」ですね。
余りが同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）＋余り
１）３、４、５の最小公倍数は60、60＋2＝62が最も小さい
２）以後は、「60の倍数＋２」ごとに出てくる。
6２、122、182、242、302、362
182は7の倍数ですが、それ以外が7の倍数ありませんね、やっかいですね・・・。
増えるのは６０ずつだな・・・・
「60の倍数と７」～～～～～～最小公倍数で良いんじゃね?
420なので、182+420＝602 602÷７＝86 ビンゴ！
答え）602
時間があれば自力でもできます。
1の位が2になる７の倍数は必ず1の位が6です。
7×6＝42、7×16＝112、7×26＝182、7×36＝252、
7×46＝322、7×56＝392、7×66＝462~~~~~~
7×86=602
全部、「60の倍数＋２」とあうかどうか考えるのはきついので、
この種の問題（「~を割る」）は、「最小公倍数」じゃね？
という意識をもちましょう。ちなみに「~で割る」系は最小公約数じゃね？
でいけることが多いです。
まとめ
余りが同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）＋余り
割る数と余りの【差】が同じ：割る数の最小公倍数（の倍数）－差
①自力で1つ目を見つける
②一つ目の数字に、割る数の最小公倍数（の倍数）を足していく
式：自力の数字＋割る数の最小公倍数×必要な数字
「最小公倍数」じゃね？
この意識を持ちましょ。
余りが同じ・割る数と余りの【差】が同じ（割り算）系問題のテクニック!（商と余り②）