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三角数は1番目の数が1、公差1の「等差数列の和」/公式：（1＋ｎ）×ｎ÷2
「四角数」を理解するには「三角数」について先に読んでください。
四角数とは？
「四角数」？知らんがな！ですよね？
四角数は
●「四角数」＝平方数：同じ整数を2乗したもの●（ex.9は3×3なので3の平方数）
●1から始まる連続した奇数（1＋3＋5＋7＋9…）の和●
●碁石などを四角形に並べた時の総数が名前の由来
●「四角数」＝１番目の数が１、公差2の等差数列の和
（「三角数」＝1番目の数が1、公差1の「等差数列の和」）
出典：『塾技100算数』p186
そうすると、次は、36 =6×6（1＋3＋5＋7＋9＋11）ですね？
四角数の公式
n番目の四角数＝n×n
です。ちなみに、
【1番目から□番目までの数の和＝（1番目の数＋□番目の数）×□÷２】（等差数列）
n番目の三角数：（1＋ｎ）×ｎ÷2（三角数）
でしたね？
上下どちらかから書くかは問題によりますが、この数字のパターン＝四角数です。
左のように区切ると、奇数の和が１＋３＋５＋７＝16と右の図で分かりますよね？
四角数＝三角数のとなりどうしの和
三角数と四角数の関係は、
【四角数＝三角数のとなりどうしの和】
です。見るのが一番早いでしょう。
三角数 四角数
問題）下記のパターンの場合、10段目の一番左の数は？
解法）
１）右端の数字が「四角数」（1の二乗、2の二乗、3の二乗…）と見抜くのが大事
２）10段目なら右端は10×10＝100、ただ求めるのは左端…
３）9段目の右端＋1＝10段目の左端なので、9×9＝81、81＋1＝82
答え）82
上下どちらかから書くかは問題によりますが、この数字のパターン＝四角数です。
左のように区切ると、奇数の和が１＋３＋５＋７＝16と右の図で分かりますよね？
四角数は二乗!（2×2、3×3、4×4…）の中学入試問題等
問題）豊島岡女子学園中学
奇数の和が１＋３＋５＋７は下の図を用いて16と求める事が
できます。この考え方を用いて１から99までの奇数の和を求めてください。
解法）一見難しいですが、冷静にやりましょう
１）1から始まる連続した奇数（1＋3＋5＋7＋9…）の和＝四角数
なので、「四角数」を使います
２）7までの奇数の和が16なのは、図で端の○が7個あるからですね？4×4
３）という事は、99までの奇数は、図の端の○が99個になればOKです。
７が3＋3＋1なので、99は49＋49＋1という配置になります。
４）という事は「縦」「横」ともに50です。
５）50×50＝2500
答え）2500
＊もっとシンプルに、99は（99＋1）÷2＝50番目の奇数と考えても良いです。
問題）共立女子中学
規則に沿って左下から番号がついています。左から○個、
下から□個の所にあるのを（○、□）と表します。例えば
8番は（３，２）。
（１）（６，３）は何番？
（２）111番はどのように表せますか？
解法）（１）（６，３）は何番？
１）下段の１，４，9，16，25を見てすぐに「あ、四角数」と気づきましょう
２）（左から６，下から３）なので、下段は36ですね。下から3つめなので、34
（問題文の次の列ですから、念のため書いてみることをオススメします）
答え）34
解法）（２）111番はどのように表せますか？
１）111という事は、10×10＝100、11×11＝121ですから、101~121がある、
11×11の所、つまり11列目ですね
２）11列目だけ書きましょう。5列目が縦4、横4、角１ですから、11列目は縦10横10、角1
３）111は角です。なので（11、11）
答え）（11、11）
答え）（１）34、（２）（11、11）
まとめ
四角数は
●「四角数」＝平方数：同じ整数を2乗したもの●（ex.9は3×3なので3の平方数）
●1から始まる連続した奇数（1＋3＋5＋7＋9…）の和●
●碁石などを四角形に並べた時の総数が名前の由来
●「四角数」＝１番目の数が１、公差2の等差数列の和
（「三角数」＝1番目の数が1、公差1の「等差数列の和」）
出典：『塾技100算数』p186
上下どちらかから書くかは問題によりますが、この数字のパターン＝四角数です。
左のように区切ると、奇数の和が１＋３＋５＋７＝16と右の図で分かりますよね？
四角数のもんだいの多くは上記の図のパターンが出ますので、そしたら、
「四角数」！とピンと来てください。
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三角数は1番目の数が1、公差1の「等差数列の和」/公式：（1＋ｎ）×ｎ÷2