場合の数③順列の公式：A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算
場合の数④組み合わせの公式：A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る
（場合の数の）【組み合わせ】の考え方
●順列－ダブり部分●
（場合の数の）【組み合わせ】の公式
【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数（順列）で割る
「順列」と「組み合わせ」の違い
場合の数の「組み合わせ」を理解するには、「順列」を分かっている必要があります。
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シンプルに2人で考えて見ましょう。
だろう君とびばりさんがいます。
（１）二人の並べ方は何通り？（順列）
だろうーびばり、びばりーだろう 2通り
（２）二人の組み合わせは何通り（組み合わせ）
「だろう」と「びばり」だけですから、順番が逆になっても組み合わせは1つ。1通り。
（場合の数の）【組み合わせ】の考え方
●順列－ダブり部分●
（場合の数の）【組み合わせ】の公式
【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る
①順列：2通り ②2×１＝２ 2÷２＝１
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じゃあ、A、B、Cの「3人」
（１）3人の並べ方は何通り（順列）
A－B B-A C-A
－C -C -B
3×２＝６ 6通り。
【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】
●A×（A-1）×（A-2）×・・・・（A-B+1）通り●
でしたね？
場合の数③順列の公式：A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算
（２）3人の組み合わせは？
A/B/Cの１通りです。B/C/AもC・A・Bも「組み合わせ」は同じですよね？
【場合の数の「組み合わせ」の公式】
（場合の数の）【組み合わせ】の考え方
●順列－ダブり部分●
（場合の数の）【組み合わせ】の公式
【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数（順列）で割る
A個からB個を選んで並べる順列
―――――――――――――――
選んだB個の並べ方
①6通り ②3個の並べ替え数は3×2×１＝６ 6÷６＝１通り。
答え〕1通り
「順列」は「並べ方」の事で、
【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】
でしたね？
場合の数③順列の公式：A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算
「組み合わせ」は「並べ方」（順列）からダブった部分を引くというイメージです。
順列（並べ方）はすべてのパターン！【組み合わせ】はごちゃっとひとまとめに
して袋にほおりこむというイメージです。
問題）10人の生徒がいます。
（１）3人を選んだ場合の並べ方は何通り？
（２）3人の組み合わせは何通り
１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０
（１）3人を選んだ場合の並べ方→順列ですね？
【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】
10×9×８＝720
1列目10通り、2列目9通り、3列目8通り、【3人】を選ぶのでここまでを掛け算する
答え）720通り
（２）3人の組み合わせは何通り
文字通り【組み合わせ】です。
1－2－3で考えてみましょう。
１）組み合わせは1通りです
２）並べ方（順列）は3×2×1＝6通りです
1－2－3、1－3－2
2－1－3、2－3－1
3－1－2、3－2－1
6÷6＝1ですね？
（場合の数の）【組み合わせ】の考え方
●順列－ダブり部分●
（場合の数の）【組み合わせ】の公式
【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数（順列）で割る
A個からB個を選んで並べる順列
―――――――――――――――
選んだB個の並べ方
①720通り ②720÷（3×2×１）＝120
答え）120通り
式で表すと、
10×9×８
―――― ＝120
3×2×１
になります。
【場合の数＋組み合わせ】の場合、この形の式が基本となる
ので覚えましょう。
難しい言葉を使うと
A個からB個を選んで並べる順列
―――――――――――――――
選んだB個の並べ方
となります。
答え）（１）720通り（２）120通り
問題）A、B、C、D、Eの5人の中から2人の書記を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。
「組み合わせ」ですね？「AとB」も「BとA」も同じというパターンです。
①順列を計算：5×4＝20通り（2人なので1列目と2列目のみ）
②【2人】の並び替え数（順列）で割る：20÷2＝10
答え）10通り
慣れるまでは樹形図を書きましょう。
場合の数の「組み合わせ」のテクニック！【少ない方を考える】
文字通り「少ない方を考える」というテクニックです。
問題）コーラ、ファンタ、カルピス、マンゴージュースがあります。
3つ選んで飲めます。何通りの組み合わせがありますか？
面倒なので数字にしましょう。
【少ない方】は飲まない１つですね？
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
答え）4通り
もちろん「組み合わせ」の公式を使っても計算できます。
①順列を出す：4×3×2×１＝24
②選ぶ数（３）の並び替え数（６）で割る：24÷6＝4
場合の数：組み合わせの公式の中学入試問題等
問題）立教池袋中学
お父さんとお母さんと4人の子供が遊園地に行き、3人乗りのコーヒーカップに
3人だけで乗ることにしました。次の問いに答えなさい。
（１）1台のコーヒーカップに子供だけで乗る乗り方は何通りありますか？
（２）1台のコーヒーカップにお父さんかお母さんのどちらかと子供が
いっしょに乗る乗り方は何通りありますか？
（１）について。
１）子供の数は4人
２）乗るのは3人
３）名前等は関係なし→組み合わせ（順列ではない）
４）解き方は2つ、「組み合わせ」「（組み合わせの）少ない方を考える」
「（組み合わせの）少ない方を考える」の解法
・4人の子供だけで3人乗りに乗る＝乗らない子供は一人
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
「234」「134」「124」「123」の4通り。
「組み合わせ」の解法
【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数（順列）で割る
①順列を計算：4×3×2×１＝24
②3個（人）の並べ替え数：3×2×1＝６、24÷6＝4
答え）4通り
（２）1台のコーヒーカップにお父さんかお母さんのどちらかと子供が
いっしょに乗る乗り方は何通りありますか？
１）4人の子供のうち2人が必ず乗っているので、
4人から2人を選ぶ組み合わせは、4×３＝12（順列）を2人の並び替え数（２）
で割るので、12÷2＝6通り。
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
１ ２ ３ ４
２）この6通りに、父か母のどちらかが乗っている組み合わせは、
「それぞれ＋父」「それぞれ＋母」なので6×2＝12
１ ２＋父、＋母
１ ３＋父、＋母
１ ４＋父、＋母
２ ３＋父、＋母
３ ４＋父、＋母
２ ４＋父、＋母
答え）12通り
答え）（１）4通り、（２）12通り
場合の数④組み合わせの公式―まとめ
（場合の数の）【組み合わせ】の考え方
●順列－ダブり部分●
（場合の数の）【組み合わせ】の公式
【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数（順列）で割る
A個からB個を選んで並べる順列
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選んだB個の並べ方
場合の数③順列の公式：A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算
場合の数④組み合わせの公式：A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る