場合の数①樹形図を使うパターン

場合の数②表を使うパターン

場合の数③順列の公式:A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算

場合の数④組み合わせの公式:A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る

(場合の数の)【組み合わせ】の考え方

●順列-ダブり部分●

(場合の数の)【組み合わせ】の公式

【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数(順列)で割る

「順列」と「組み合わせ」の違い

場合の数の「組み合わせ」を理解するには、「順列」を分かっている必要があります。

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シンプルに2人で考えて見ましょう。

だろう君とびばりさんがいます。

(1)二人の並べ方は何通り?(順列)

だろうーびばり、びばりーだろう 2通り

(2)二人の組み合わせは何通り(組み合わせ)

「だろう」と「びばり」だけですから、順番が逆になっても組み合わせは1つ。1通り。

(場合の数の)【組み合わせ】の考え方

●順列-ダブり部分●

(場合の数の)【組み合わせ】の公式

【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る

①順列:2通り ②2×1=2 2÷2=1

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じゃあ、A、B、Cの「3人」

(1)3人の並べ方は何通り(順列)

A-B  B-A C-A

  -C    -C    -B

3×2=6 6通り。

【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】

●A×(A-1)×(A-2)×・・・・(A-B+1)通り●

でしたね?

場合の数③順列の公式:A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算

(2)3人の組み合わせは?

A/B/Cの1通りです。B/C/AもC・A・Bも「組み合わせ」は同じですよね?

【場合の数の「組み合わせ」の公式】

(場合の数の)【組み合わせ】の考え方

●順列-ダブり部分●

(場合の数の)【組み合わせ】の公式

【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数(順列)で割る

A個からB個を選んで並べる順列

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選んだB個の並べ方

①6通り ②3個の並べ替え数は3×2×1=6 6÷6=1通り。

答え〕1通り

「順列」は「並べ方」の事で、

【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】

でしたね?

場合の数③順列の公式:A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算

「組み合わせ」は「並べ方」(順列)からダブった部分を引くというイメージです。

順列(並べ方)はすべてのパターン!【組み合わせ】はごちゃっとひとまとめに

して袋にほおりこむというイメージです。

    

問題)10人の生徒がいます。

(1)3人を選んだ場合の並べ方は何通り?

(2)3人の組み合わせは何通り

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10

(1)3人を選んだ場合の並べ方→順列ですね?

【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】

10×9×8=720

1列目10通り、2列目9通り、3列目8通り、【3人】を選ぶのでここまでを掛け算する

答え)720通り

(2)3人の組み合わせは何通り

文字通り【組み合わせ】です。

1-2-3で考えてみましょう。

1)組み合わせは1通りです

2)並べ方(順列)は3×2×1=6通りです

1-2-3、1-3-2

2-1-3、2-3-1

3-1-2、3-2-1

6÷6=1ですね?

(場合の数の)【組み合わせ】の考え方

●順列-ダブり部分●

(場合の数の)【組み合わせ】の公式

【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数(順列)で割る

A個からB個を選んで並べる順列

―――――――――――――――

選んだB個の並べ方

①720通り ②720÷(3×2×1)=120

答え)120通り

式で表すと、

10×9×8

―――― =120

3×2×1

になります。

【場合の数+組み合わせ】の場合、この形の式が基本となる

ので覚えましょう。

難しい言葉を使うと

A個からB個を選んで並べる順列

―――――――――――――――

選んだB個の並べ方

となります。

答え)(1)720通り(2)120通り

 

 

 

 

問題)A、B、C、D、Eの5人の中から2人の書記を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。

「組み合わせ」ですね?「AとB」も「BとA」も同じというパターンです。

①順列を計算:5×4=20通り(2人なので1列目と2列目のみ)

②【2人】の並び替え数(順列)で割る:20÷2=10

答え)10通り

慣れるまでは樹形図を書きましょう。

 

場合の数の「組み合わせ」のテクニック!【少ない方を考える】

文字通り「少ない方を考える」というテクニックです。

問題)コーラ、ファンタ、カルピス、マンゴージュースがあります。

3つ選んで飲めます。何通りの組み合わせがありますか?

面倒なので数字にしましょう。

【少ない方】は飲まない1つですね?

 2 3 4

1  3 4

1 2  4

1 2 3 

答え)4通り

もちろん「組み合わせ」の公式を使っても計算できます。

①順列を出す:4×3×2×1=24

②選ぶ数(3)の並び替え数(6)で割る:24÷6=4

    

場合の数:組み合わせの公式の中学入試問題等

問題)立教池袋中学

お父さんとお母さんと4人の子供が遊園地に行き、3人乗りのコーヒーカップに

3人だけで乗ることにしました。次の問いに答えなさい。

(1)1台のコーヒーカップに子供だけで乗る乗り方は何通りありますか?

(2)1台のコーヒーカップにお父さんかお母さんのどちらかと子供が

いっしょに乗る乗り方は何通りありますか?

(1)について。

1)子供の数は4人 

2)乗るのは3人

3)名前等は関係なし→組み合わせ(順列ではない)

4)解き方は2つ、「組み合わせ」「(組み合わせの)少ない方を考える」

「(組み合わせの)少ない方を考える」の解法

・4人の子供だけで3人乗りに乗る=乗らない子供は一人

 2 3 4

1  3 4

1 2  4

1 2 3 

「234」「134」「124」「123」の4通り。

「組み合わせ」の解法

【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数(順列)で割る

①順列を計算:4×3×2×1=24

②3個(人)の並べ替え数:3×2×1=6、24÷6=4

答え)4通り

(2)1台のコーヒーカップにお父さんかお母さんのどちらかと子供が

いっしょに乗る乗り方は何通りありますか?

1)4人の子供のうち2人が必ず乗っているので、

4人から2人を選ぶ組み合わせは、4×3=12(順列)を2人の並び替え数(2)

で割るので、12÷2=6通り。

1 2 3 4

1  3 

1 2 3 4

 2 3 

1 2 3 4

 2  4

 

2)この6通りに、父か母のどちらかが乗っている組み合わせは、

「それぞれ+父」「それぞれ+母」なので6×2=12

1 2+父、+母 

1 3+父、+母

1 4+父、+母

2 3+父、+母

3 4+父、+母

2 4+父、+母

答え)12通り

答え)(1)4通り、(2)12通り

    

場合の数④組み合わせの公式―まとめ

(場合の数の)【組み合わせ】の考え方

●順列-ダブり部分●

(場合の数の)【組み合わせ】の公式

【A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数(順列)で割る

A個からB個を選んで並べる順列

―――――――――――――――

選んだB個の並べ方

 

場合の数①樹形図を使うパターン

場合の数②表を使うパターン

場合の数③順列の公式:A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算

場合の数④組み合わせの公式:A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る