場合の数③順列の公式:A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算
場合の数④組み合わせの公式:A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る
「順列」は「並べ方」の事と考えてください。
樹形図を書く問題を公式で解くというイメージです。
樹形図を書くと数が多すぎる場合などに「順列」を使うと便利です。
【樹形図+公式=順列】という感じでしょうか?
順列の公式
問題)A,B,C,D,Eの5人から3人を選んで並べる方法は何通り?
A個の異なるものから、異なるB個を選んで並べる順列の公式
●A×(A-1)×(A-2)×・・・・(A-B+1)通り●
(難しいので…以下でもOK)
【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】
慣れないと「意味分からんわ!」ですね。そうでしょうそうでしょう。
樹形図書くわ!それで良いんですが、数が多くなると全部書くと大変です。
ですので、【樹形図+公式=順列】で省略しつつやりましょう。
Aから並ぶ例が、Bが2番目だと3通りで、Cが2番目でも3通り、なので、
3×4(B,C,D,Eが2番目)=12通り。
12通りがA,B,C,D,E5通りあるので、12×5=60
というのが考え方です。
ただし、この種の問題は公式が使えます。
A個の異なるものから、異なるB個を選んで並べる順列の公式
●A×(A-1)×(A-2)×・・・・(A-B+1)通り●
(難しいので…以下でもOK)
【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】
「5人の異なるものから、異なる3人を選んで並べる」わけですよね?
●5×(5-1)×(5-2)=60●
または、
●5×(5-1)×(5-3+1)=60●
一本だけ樹形図を書いて後は公式で計算できます。
A個の異なるものから、異なるB個を選んで並べる順列の公式
●A×(A-1)×(A-2)×・・・・(A-B+1)通り●
(難しいので…以下でもOK)
【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】
この公式が成り立つのは、樹形図が一つずつ減りながら枝分かれしていくからです。
仕組みが分かれば納得もしやすいのでは?
場合の数:順列の公式の中学入試問題等
問題)日本大学第二中学
6人の中から委員長、副委員長、書記の3役をそれぞれ一人ずつ決めます。
ただし、副委員長と書記は1人で両方やっても良いものとします。この時、
3役の決め方は何通りありますか?
一箇所だけひねってありますね。ただ、2つの順列を作れれば大丈夫かと。
①6人から3人を選ぶ順列(左側、6×5×4=120)
②副委員長と書記を同じ人がやる場合の順列(右側、6×5=30)
120+30=150
答え)150通り
問題)昭和学院秀英中学
国語A、国語B、算数、理科、社会の5冊の本を並べます。次の
ような並べ方は何通りありますか?
(1)全ての並べ方
(2)国語Aと国語Bが隣り合う並べ方
(3)国語Aと国語Bが隣り合わない並べ方
(1)全ての並べ方
5個の物を5個並べるわけなので、
【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】
5×4×3×2×1=120
答え)(1)120通り
(2)国語Aと国語Bが隣り合う並べ方
【隣り合う】という事はくっついているので2冊で一冊と考えられます。
4個のものを4通りに並べるのと同じなので、4×3×2×1=24
ただし、国語Aと国語Bは並べ方が2通りあるので、24×2=48
答え(2)48通り
(3)国語Aと国語Bが隣り合わない並べ方
「〔1〕の答えー〔2〕の答え」ですね。
120-48=72
答え)(3)72通り
答え)(1)120通り(2)48通り(3)72通り
場合の数③順列の公式―まとめ
A個の異なるものから、異なるB個を選んで並べる順列の公式
●A×(A-1)×(A-2)×・・・・(A-B+1)通り●
(難しいので…以下でもOK)
【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】
この公式が成り立つのは、樹形図が一つずつ減りながら枝分かれしていくからです。
場合の数③順列の公式:A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算
場合の数④組み合わせの公式:A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る