場合の数③順列の公式：A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算
場合の数④組み合わせの公式：A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る
この記事は「場合の数＋整数の数字作り」のパターンについてまとめます。
基本的には「順列」の一種となります（先に「順列」の記事を読んでください）。
★「場合の数＋整数の数字作り」のパターン★
１）順列の問題として解く（「０」を含まない問題）
２）（「０」を含む問題は）一番上の位は「０」にならない事に注意!
３）「「３」の倍数」系の問題：各位の数の和が「3」又は「９」の倍数になるようにする
４）「偶数・奇数」「５or10の倍数」系の問題：1の位をまず決める
「場合の数＋整数の数字作り」のパターン１：「０」を含まない
問題）１，２，３，４の4枚のカードから3枚を取り出して3桁
の整数を作ると何通りの整数ができますか？
典型的な「場合の数＋整数の数字作り」の問題です。「順列」を使います。
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A個の異なるものから、異なるB個を選んで並べる順列の公式
●A×（A-1）×（A-2）×・・・・（A-B+1）通り●
（難しいので…以下でもOK)
【A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算をする】
場合の数③順列の公式：A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算
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でしたね？
4×3×2＝24 24通り。慣れたら樹形図なしでも良いですが、最初は書きましょう。
答え）24通り
★「場合の数＋整数の数字作り」のパターン★
１）順列の問題として解く（「０」を含まない問題）
２）（「０」を含む問題は）一番上の位は「０」にならない事に注意!
３）「「３」の倍数」系の問題：各位の数の和が「3」又は「９」の倍数になるようにする
４）「偶数・奇数」「５or10の倍数」系の問題：1の位をまず決める
「場合の数＋整数の数字作り」のパターン２：（「０」を含む問題は）一番上の位は「０」にならない事に注意!
問題）０，１，２，３，４の5枚のカードから3枚を取り出して
3桁の数字を作る場合、何通りの方法がありますか？
「パターン１」と違うのは「０」が入っている事です。
「3桁の数字」なので、「0」が100の位（一番上の位）には来ません。
樹形図を良く見てください。
１）100の位：「０」が使えませんので、１，２，３，４の4通り
仮に100の位を「１」とします。
２）10の位：「０」使えます。０，２，３，４の4通り
仮に10の位を「０」とします。
３）1の位：（１と０を既に使っているので）２，３，４の3通り
よって、4×4×3＝48
答え）48通り
「０」が絡む「数字作り系の問題」は「一番上の位に「0」が来ない」のが
ポイントです。その上で樹形図を作ればそれほど難しくないのでは？
「式」としては、A×A×（A-1) 的なものになります。順列の基本は
A×（A-1）×（A-2)でしたよね？
★「場合の数＋整数の数字作り」のパターン★
１）順列の問題として解く（「０」を含まない問題）
２）（「０」を含む問題は）一番上の位は「０」にならない事に注意!
３）「「３」の倍数」系の問題：各位の数の和が「3」又は「９」の倍数になるようにする
４）「偶数・奇数」「５or10の倍数」系の問題：1の位をまず決める
「「３」の倍数」系の問題：各位の数の和が「3」又は「９」の倍数になるようにする
「「３」の倍数」系の問題：各位の数の和が「3」又は「９」の倍数になるようにする
【「３」の倍数】は大丈夫ですよね？（まだの人は下記記事をどうぞ）
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倍数判定法（2，3，4，5，6，8，9，10，11，12）/算数・youtube音声動画付き
「３」の倍数はそれぞれの位の数字を全部足した数が「３」の倍数になる数字です。
12→1+2＝３
15→1+5=6
27→2+7=9
123→1＋2＋3＝６
1008→1＋0＋0＋8＝9
2481→2+4+8+1=15
4584→4＋5＋8＋4＝21
123456789→1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45
（「1＋9」＋「2＋８」＋「３＋７」＋「４＋６」＋「５」）
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「「３」の倍数」系の問題：各位の数の和が「3」又は「９」の倍数になるようにする
問題）１，２，３，４、５の５枚のカードから3枚を取り出して3桁
の整数を作る時、3の倍数は何通りできますか？
「３」の倍数ですから、「百の位＋十の位＋一の位＝3の倍数」です。
最も小さい数字は「123」です。あ、「６」なので3の倍数ですね？
最も大きい数字は「543」です。あ、「12」なので3の倍数ですね？
という事は、3つの数字の合計が「６」「９」「12」になるパターンです。
「６」：「123」の並べ替えなので、3×2×1＝６通り（123、132、213、231、312、321）
「９」：「135」の並び替えなので3×2×1＝6通り
：「234」も【9】になる。3×2×1＝6通り
「12」：「345」の並び替えなので3×2×1＝6通り
6×4＝24 答え）24通り
「「３」の倍数」系の問題：各位の数の和が「3」又は「９」の倍数になるようにする
★「場合の数＋整数の数字作り」のパターン★
１）順列の問題として解く（「０」を含まない問題）
２）（「０」を含む問題は）一番上の位は「０」にならない事に注意!
３）「「３」の倍数」系の問題：各位の数の和が「3」又は「９」の倍数になるようにする
４）「偶数・奇数」「５or10の倍数」系の問題：1の位をまず決める
「偶数・奇数」「５or10の倍数」系の問題：1の位をまず決める
「偶数・奇数」「５or10の倍数」系の問題：1の位をまず決める
問題）昭和学院秀英中学
０，１，２，３，４の５枚のカードから3枚を取り出して3桁
の整数を作る時、
（１）全部で何通り作れますか？
（２）偶数は何通りできますか？
（１）について、「０」が入ってますので、
4×4×３＝48
答え）48通り
（２）偶数は何個ですか？
「偶数・奇数」「５or10の倍数」系の問題：1の位をまず決める
【偶数】という事は「一の位が偶数」という事です。
０か２か４ですね？
樹形図に一の位から決めるのが基本です。
ただし、この問題では「０」がありますので、百の位には「０」が
使えない事を見落としてはいけませんよ。
ですので、この問題は、
●「1の位が０の時」と「1の位が2と4の時」の場合に分けましょう●
「1の位が０の時」は12通り
百 十 一
０
百 十 一
1～4 ０
百 十 一
0と十の位以外の3つ 1~4 ０
「３」 「４」 「１」
3×4×１＝12 12通り
「1の位が2と4の時」は9通り×２＝18通り
（一の位を２でやります）
百 十 一
２
百 十 一
1，3，4 ２
百 十 一
1，3，4 2と百の位以外の3つ ２
3×3×１＝９
先に100の位を出してしまった方が楽です。もちろん、
樹形図に丁寧に書いた方が安心かもしれません。
答え）30通り
答え）（１）48通り（２）30通り
場合の数⑤整数の数字作りのパターンの中学受験問題等
問題）洛南中学
1，2，3，4の4枚のカードのうち、3枚のカードを並べて3桁の数字を作ります。
作る事のできる数のうち6の倍数になるのは全部で□個あります。
１）「６」の倍数なので、「2の倍数かつ3の倍数」ですね？
2の倍数は偶数なので1の位で分かります。3の倍数かどうかは3つの位を全部足します。
倍数判定法（2，3，4，5，6，8，9，10，11，12）/算数・youtube音声動画付き
２）2の倍数で小さいものは、124、132辺りです。132が6の倍数ですね
6の倍数になる一番小さい数字が132です。3つの数字を足すと「６」
３）偶数で一番大きいのは、432です。3つの数字を足すと「９」なので、6の倍数ですね。
という事は、3つの数字を足して「６」「９」になる＋偶数が条件に合致します。
132の並び替えは「123、132、213、231、312、321」の6通り。偶数は2通り。
432の並び替えは「432、423、324、342、234、243」の6通り。偶数は4通り。
足すと6通り
答え）6
「2の倍数」はすぐに分かるので、「3の倍数になる偶数末尾の組み合わせ」を
先に考えて（132、432）その並び替えに何個偶数があるかを考えると速く解ける
かもしれません。
まとめ
★「場合の数＋整数の数字作り」のパターン★
１）順列の問題として解く（「０」を含まない問題）
２）（「０」を含む問題は）一番上の位は「０」にならない事に注意!
３）「「３」の倍数」系の問題：各位の数の和が「3」又は「９」の倍数になるようにする
４）「偶数・奇数」「５or10の倍数」系の問題：1の位をまず決める
場合の数③順列の公式：A個からB個選んで並べる→Aから始め1つずつ数を減らしてB個掛け算
場合の数④組み合わせの公式：A個からB個選んで組み合わせる→①順列を計算②①をB個の並べ替え数で割る