N進法の解き方は10進法をNで割っていき、余りと最後の商を逆から順に書く―「中学受験+塾なし」の勉強法!

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N進法の解き方は10進法をNで割っていき、余りと最後の商を逆から順に書く

 

N進法とは?

N進法は、位の上がり方がポイントです。

「N進法」とは、0からN-1までのN個の数字を使い、数がN個まとめると位が

1つ上がるような数の表し方です。

????わからね~~よ!ですよね?分かります。では「N」に具体的な数字を入れてみましょう。

我々は、「10進法」の世界に生きていますので、「N=10の10進法から」

10進法

10進法:0~9までの10個の数字を使い、数が10ずつ集まると位が1つ上がる

     1の位→10の位→100の位

10進法で「10」を表すと、10です。これを説明すると、

          10×1+1×0=10

10の位  1の位

 

2進法:コンピュータで有名

2進法:0と1の2つの数字を使い、数が2ずつ集まると位が上がる

2進法で「10」を表すと、1010(イチゼロイチゼロと読みます)です。

これを説明すると、二進法では、数が2つずつ集まると位が上がりますから、

         8×1+4×0+2×1+1×0=10

8の位4の位 2の位 1の位

 

3進法

3進法もやってみましょう。

3進法で「10」を表すと、101(イチゼロイチ)

1   0   1   9×1+3×0+1×1

9の位 3の位 1の位

四進法と五進法

考え方は同じですので、

【四進法】

64の位 16の位 4の位 1の位

   ×4   ×4  ×4

【五進法】

125の位 25の位 5の位 1の位

    ×5  ×5  ×5

 

N進法のポイント

【N進法のポイント】

0)「位」はすべて「1」から始まる

1)位の上がり方がポイント:N進法のN乗になっていく

「10進法」→1の位・10¹(10)の位・10²(100)の位・10³(1000)の位・・・

「2進法」→1の位・2¹(2)の位・2²(4の位)・2³(8の位)・・・

「5進法」→1の位・5¹(5)の位・5²(25)の位・5³(125)の位

2)読み方は「10進法」以外は棒読み

101(イチゼロイチ)1010(イチゼロイチゼロと読みます)

 

10進法をN進法で解く方法

10進法をNで割っていき、余りと最後の商を逆から順に書く

(最後の商→余り・余り・余り・余り・・・)

素因数分解の応用編だと思ってください。

これは実際にやるのが一番です。自分で問題作って解く事もできますよね?

問題)43を3進法で表すと?

3)43

3)14・・・1↑

3)・・・2↑

  1・・・1↑

  ●→  →↑

余りと最後の商を逆から順に書く(最後の商→余り・余り・余り・余り・・・)

「1121」ですね。検算しましょう。

1(27の位) 1(9の位) 2(3の位) 1(1の位)

27+     9+    +6    +1=43

 

問題)123を二進法で表してください

2)123

2)61・・・・

2)30・・・・

2)15・・・・

2)7・・・・

2)3・・・・

2)1・・・・1

「1111011」

検算:1(64の位)1(32の位)1(16の位)1(8の位)0(4の位)1(2の位)1(1の位)

64+32+16+8+2+1=99+24=123

10進法をNで割っていき、余りと最後の商を逆から順に書く

(最後の商→余り・余り・余り・余り・・・)

「N進法」を使う問題になれるのがかなり大事!

この解き方はスマートではありますが、マスターしづらい場合、「N進法」

の累乗数(2・4・8・16・32・64・128)を書いていき、最大のものから

123がいくつあるか(64から始まります)を考えて、余りをさらに累乗数の

大きいものに入れていく方法もあります。

画像出典:https://www.youtube.com/watch?v=JEmfkXTRHoM

当たり前ですが、どちらでやっても答えは同じになります。

 

N進法で表された数を10進法で表す方法

各位の数字を正確に出せれば、これは、冷静にやって慣れると大丈夫でしょう。

問題)5進法の「132」(イチサンニ)を10進法で表すと?

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

【五進法】

125の位 25の位 5の位 1の位

    ×5  ×5  ×5

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

【132】=25の位が1、5の位が3、1の位が2ですので、

(25×1)+(5×3)+(1×2)=42

25+15+2=42

 

N進法の中学入試問題等

上記の基本を完璧にマスターした上で、出されている問題がN進法である事に気づく必要があります。

問題)西武学園文理中学

解法)(1)

1)N進法だと気づかないと解けません…。いくつ進法?

2)全てのN進法で1の位は「1」です。その後「2¹」「2²」「2³」

となっている事が分かりますでしょうか?マスに実際に書いてみるのが

良いです。【2進法】となっています。

(「4進法」と考えても、最後の計算で混乱するかもしれませんが正解は出せます)

図を数字で書くと「1の位×1」「2の位、4の位、8の位は0」

「16の位×1」「32の位0」「64の位0」「128の位1」

なります。

128+16+1=145

 

解法)(2)

10進法をNで割っていき、余りと最後の商を逆から順に書く

(最後の商→余り・余り・余り・余り・・・)

2)300

2)150・・・

2)75・・・

2)37・・・

2)18・・・

2)9・・・

2)4・・・

2)2・・・

  1・・・0

  →  →→↑

「100101100」これを図に正確に書く必要があります。

右を1の位として正確に数字を入れていきましょう。

(左が大きい位、右が小さい位ですので間違えないように)

「N進法」の問題はことさら「慣れる」のが大事かもしれません。

 

まとめ

【N進法のポイント】

0)「位」はすべて「1」から始まる

1)位の上がり方がポイント:N進法のN乗になっていく

「10進法」→1の位・10¹(10)の位・10²(100)の位・10³(1000)の位・・・

「2進法」→1の位・2¹(2)の位・2²(4の位)・2³(8の位)・・・

「5進法」→1の位・5¹(5)の位・5²(25)の位・5³(125)の位

2)読み方は「10進法」以外は棒読み

101(イチゼロイチ)1010(イチゼロイチゼロと読みます)

10進法をNで割っていき、余りと最後の商を逆から順に書く

(最後の商→余り・余り・余り・余り・・・)

「N進法」を使う問題になれるのがかなり大事!

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