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パスカルの三角形とは？
【パスカルの三角形の条件】
●最上段が１
●格段の両端が１
●（それ以外は）右上と左上の数の和
パスカルの三角形は（結果として）左右対称になります。
パスカルの三角形のポイント
以下ですべて説明します。
１）1から始まる連続した整数の数列に注目！
パスカルの三角形は、1から始まる連続した整数の数列に注目！
ですので、「30段目の左から2番目は？」と言われてもすぐに分かります。
ただし、「3段目が２」であることを間違えないように。
「29」ですね？
２）「三角数」が出てくる：左と右から3番目の数字
パスカルの三角形は、「三角数」が出てきます：左と右から3番目の数字
三角数は1番目の数が1、公差1の「等差数列の和」/公式：（1＋ｎ）×ｎ÷2
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三角数は、
●1から始まる自然数を順に足した（1＋2＋3＋4）自然数の和●
（1から始まる連続した整数の和）
●碁石などを正三角形に並べた時の総数が名前の由来
●「三角数」＝1番目の数が1、公差1の「等差数列の和」のこと
1番目：１ 2番目：３ 3番目：６ 4番目：10 5番目：15
6番目：21 7番目：28 8番目：36 9番目：45 10番目：55
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３）ななめの数の和は「フィボナッチ数列」
「ふぃ、ふぃ、フィボナッチ数列？知らんがな！」ですよね？
「フィボナッチ数列」とは、前の2つの数の和が次の数になる数列です。
１、１、２（１＋１）、３（１＋２）、５（2＋3）、８（3＋5）、13、21・・・・・
「等差数列」などで「フィボナッチ数列」を使うことがあります。
４）各段の和は2の累乗
「累乗」＝同じ数字を何回かかけたもの。2回なら二乗、3回なら三乗。
かけた数字は、右肩に小さい数字で表す。２³＝2×2×2＝８
「パスカルの三角形」系の問題は、これらのポイントを
使って解いていくことがほとんどです。
▲パスカルの三角形のポイント▲
１）1から始まる連続した整数の数列に注目！：左と右から2番目の数字
２）「三角数」が出てくる：左と右から3番目の数字
３）ななめの数の和は「フィボナッチ数列」
４）各段の和は2の累乗
パスカルの三角形の中学入試問題等
問題）千葉日大一中学
（１）5段目、6段目にある数の和をそれぞれ求めなさい
（２）数の和が1024になるのは何段目ですか？
（３）12段目の左から2番目、3番目の数をそれぞれ求めなさい
解法）（１）5段目、6段目にある数の和をそれぞれ求めなさい
１）5段目は書いてあるので暗算で。6段目は書いていっても良いですが時間がもったいないです。
各段の和は2の累乗
5段目：16、6段目：16×2＝32
（２）数の和が1024になるのは何段目ですか？
各段の和は2の累乗
1024の前は、和が512、その前が256、その前が128
と2で割っていきます。64、32。
32は6段目なので、64（7段目）、128（8段目）、256（9段目）、
512（10段目）、1024（11段目）
(1024を素因数分解して2×2×・・・・・とやっても良いですが・・・）
解法）（３）12段目の左から2番目、3番目の数をそれぞれ求めなさい
１）1から始まる連続した整数の数列に注目！
２）12段目は左から2番目が「11」
３）左と右から3つ目は「三角数」。三角数は3段目から始まるので、
12段目は三角数の10番目。（1＋10）×10÷２＝55
（三角数の9番目「45」と10番目「55」は暗記してください）
答え）（１）5段目：16、6段目：32（２）11段目（３）11、55
問題）神奈川学園中学
（１）8段目に並んでいる8つの数を左から順に書いてください
（２）横に並んだ数の和が1024になるのは何段目ですか
（３）E子さんは計算ミスをして6段目の左から3番目に正しくない
数字を書きました。その結果9段目の列の並びが1，8，27，53，67，55，28，8，1
となりました。E子さんが6段目の左から3番目に書いた数字はいくつですか？
解法）（１）8段目に並んでいる8つの数を左から順に書いてください
１）書いた方が早いでしょう。
答え）1，7，21，35，35，21，7，1
解法）（２）横に並んだ数の和が1024になるのは何段目ですか
別の問題にも出てきましたね。
１）1024を素因数分解すると、2×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝2の10乗
２）２段目が２の二乗なので１０乗は１１段目
あるいは、各段の和は2の累乗を利用して、
1024の前が512、その前が256、128、64、32、16（5段目）とやると、
11段目と分かる。こっちの方がやりやすそうです。
解法）（３）E子さんは計算ミスをして6段目の左から3番目に正しくない
数字を書きました。その結果9段目の列の並びが1，8，27，53，67，55，28，8，1
となりました。E子さんが6段目の左から3番目に書いた数字はいくつですか？
１）正確な6段目~8段目（問題（１））を使いましょう
２）不正確な6~8段目で分からない所をA~Eとし、9段目の数字を入れていきます
３）C＝27－7＝20、E＝55－21＝34が分かるので、D=53－20＝33、
A＝20－6＝14、B＝34－15＝19と分かります。□＝19－10＝９ですね
答え）（１）答え）1，7，21，35，35，21，7，1
（２）11段目 （３）９
まとめ
▲パスカルの三角形のポイント▲
１）1から始まる連続した整数の数列に注目！：左と右から2番目の数字
２）「三角数」が出てくる：左と右から3番目の数字
３）ななめの数の和は「フィボナッチ数列」
４）各段の和は2の累乗
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