おうぎ形の面積の求め方2つと葉っぱ（レンズ）形の面積の求め方3つ！
おうぎ形の面積の公式２つ
１ 半径×半径×3.14×中心角/360
２ 弧の長さ×半径÷２
おうぎ形の面積を求める二つの公式のうち、
【1 半径×半径×3.14（円周率）×中心角/360】
は円の面積を求める公式に「×中心角/360」という「おうぎ」
の部分を指定して求める感じなので分かりやすいのでは？
【２ 弧の長さ×半径÷２】
こちらに関しては、覚えてしまって良いと思います。
いずれにせよ、この二つの公式のどちらかを、何らかの形で
使って面積を求めていく問題が多くなります。
ハッパ形（レンズ形）のおうぎ形面積の求め方3つ！
（画像出典：「中学受験 算数の基本問題」）
ハッパ形（レンズ形）のおうぎ形の面積の求め方
１ 90度のおうぎ形2個－正方形
２ （90度のおうぎ形－半径×半径÷２（三角形））×２
３ 正方形の面積×0.57 （円周率は3.14）
１ 90度のおうぎ形2個－正方形（上の図）
上下からおうぎ形を見て、2個分の面積を出し、正方形の面積を引くと
真ん中のハッパ（レンズ）部分の面積が残ります。図を見ると分かりますかね？
２ （90度のおうぎ形－半径×半径÷２（三角形））×２（下の図）
90度のおうぎ形の面積を出し、そこから（半径×半径の二等辺）三角形
の面積を引くと、葉っぱ（レンズ）の半分が出ます。それを2倍にしてます。
これは図を見ると分かるのでは？
３ 正方形の面積×0.57 （円周率は3.14）
３ 正方形の面積×0.57 （円周率は3.14）
が成り立つ理由を1辺1cmの正方形の中にあるおうぎ形で証明してみます。
１ 90度のおうぎ形2個－正方形
この公式を使って式を作ると、
1×１×3.14×90/360=3.14×0.25＝0.785
これがおうぎ形の面積です。
１ 90度のおうぎ形2個－正方形
ですので、0.785×２－（1×１）＝1.57－1＝0.57
答え）0.57
ですね？
葉っぱ（レンズ形）のおうぎ形の面積は
正方形の面積×0.57 （円周率は3.14）
でも出せると「0.57」を覚えてしまってもいいです。
等積移動：図形を移動させて考える＋おうぎ形・三角形・四角形を作る
算数の図形では
●補助線を引く●
というのは基本で、絶対に必要です。おうぎ形系の問題では、
「補助線を引く」に加えて、
●同じ面積の所を移動させる●（等積移動）
というものを覚えてください。
理屈としては、等積移動は、そのままでは面積を求めづらい問題を解く
ために、図形の一部を移動させ、おうぎ形や三角形、四角形を作って
面積を求めます。
文字で書かれても？？？ですよね？図を見て理解しましょう。
ある程度パターン化されているので、何度もやっていると覚えてしまえ
ます。
また、中学受験の算数入試問題レベルになると、等積移動させないと、
あるいはパターンを知らないと（少なくとも時間内には）解けない問題
というのが基本になっていたりします・・・。世知辛い世の中ですね。
おうぎ形の面積（等積移動系）を求めよ問題のパターン
１ 等積移動：同じ面積の所に移動させて計算しやすくする
２ 葉っぱ4枚：小さい正方形4つに分ける（正方形の面積×0.57）
３ 補助線＋等積移動：補助線を引いて等積移動する
４ ヒポクラテスの三日月（直角二等辺三角形）：三日月の面積＝直角三角形の面積
５ １～４の組み合わせ（難関中学）：上記をマスターしてさらに問題に慣れる
【１ 等積移動：同じ面積の所に移動させて計算しやすくする】
出典：『塾技100算数』p72
上記の図でいうと、
１ 左下のおうぎ形の面積を等積移動させ、右のおうぎ形を作る
２ 大きいおうぎ形の面積を求める
３ 「２」の面積から三角形の面積を引く
【２ 葉っぱ4枚：小さい正方形4つに分ける（正方形の面積×0.57）】
問題）斜線部分の面積は？
葉っぱ（レンズ）4枚形です。大きい正方形を小さい正方形（1辺５cm）
4つに分けて考えます。円周率3.14なら以下の公式が使えます。
正方形の面積×0.57 （円周率は3.14）
5×5×0.57＝14.25（葉っぱ一枚の面積）
14.25×４＝57
答え）57cm²
【３ 補助線＋等積移動：補助線を引いて等積移動する】
出典：『塾技100算数』p72
この問題はある意味では【補助線】＋【等積移動】ですね。
たくさん問題を解くとこのパターンが多数出てきます。
【４ ヒポクラテスの三日月（直角二等辺三角形）：三日月の面積＝直角三角形の面積】
この「ヒポクラテスの三日月」の形はそのまま出てくる事もよくあります。
直角三角形であれば必ず
「（上の）三日月の面積＝直角三角形の面積」
になります。
黄色部分の面積を求める場合、直角三角形の面積を求めるだけでもOKです。
圧倒的に時間が節約できます。
結論から書くと、黄色の三日月部分の面積は直角三角形の面積と
同じなので、3×４÷２＝６ 6cm²です。
「ヒポクラテスの三日月：三日月の面積＝直角三角形の面積」を
知らない場合、以下のような解き方になります。証明ですね。
１ 全ての面積を求める：三角形＋直径4cmの半円＋直径3cmの半円
２ 「１」から直径5cmの半円の面積を引く
（３×４÷２）＋（2×2×3.14÷２)+(1.5×1.5×3.14÷２）＝
＝６＋6.28＋3.5325
＝15.8125 （全部の面積）
2.5×2.5×3.14÷２＝9.8125
15.8125－9.8125＝６ 6cm²
面倒ですよね？
ここでもう一度式を見てみますと、
（３×４÷２）＋（2×2×3.14÷２)+(1.5×1.5×3.14÷２）ー（2.5×2.5×3.14÷２）
はい！「3.14÷２を使って分配法則使えるんじゃね？」と思った方、ヒポクラテス
並の算数のセンスですね。
（３×４÷２）＋（2×2×3.14÷２)+(1.5×1.5×3.14÷２）ー（2.5×2.5×3.14÷２）
＝（３×４÷２）＋（2×2＋1.5×1.5ー2.5×2.5）×3.14÷２
＝（３×４÷２）＋（４＋2.25－6.25）×3.14÷2
＝（３×４÷２）＋０×3.14÷２
＝（３×４÷２）
分かりましたかね？
１ 全ての面積を求める：三角形＋直径4cmの半円＋直径3cmの半円
２ 「１」から直径5cmの半円の面積を引く
をしていくと、途中で「三角形だけの面積が答え」に必ずなります。
理由は「三平方の定理」です。
三平方の定理（ピタゴラスの定理）は中学受験では出ませんので、
詳細は知らなくても良いですが、直角三角形の3辺の長さの公式です。
＝（３×４÷２）＋（４＋2.25－6.25）×3.14÷2
上記の問題では、上の部分ですね。必ず０になります。
ですので、直角三角形であれば、「ヒポクラテスの三日月」が
使えます。
「（上の）三日月の面積＝直角三角形の面積」
になります。
黄色部分の面積を求める場合、直角三角形の面積を求めるだけでもOKです。
圧倒的に時間が節約できます。
円とおうぎ形の中学入試問題等
問題）上記の図の斜線の部分の面積を求めてください。
円周率は3.14とします。
この形は飽きるほど出てくるので、反射的に
正方形の面積×0.57 （円周率は3.14）
を使ってもよさそうです。
問題）斜線部の面積を求めてください。円周率は3.14です。
問題）芝浦工業大学中学校
下記の図の斜線部分の面積を求めなさい。円周率は3.14です。
AB8cm, BC10cm,CA6cmです。
上記に解説した「ヒポクラテスの三日月」をもう一度復習しておきましょう。
おうぎ形の面積の求め方2つと葉っぱ（レンズ）形の面積の求め方3つ！