円周率の倍数は暗記する!

平面図形の面積の求め方(基本編)

円と正方形で覚えるルールはこの2つ!

おうぎ形の面積の求め方2つと葉っぱ(レンズ)形の面積の求め方3つ!

図形を解く工夫:等積移動・共通部分の利用

    

図形の面積を求める場合、「見たままで解ける」ものよりも、【工夫】を

しないと解けない問題の方が多いです。具体的には、

(●そもそも図形に分かる数値を丁寧に書く)

●補助線を引く

●同じ面積の部分を移動させる(等積移動)

●共通部分を利用する

といった事があります。

この記事では、

●同じ面積の部分を移動させる(等積移動)

●共通部分を利用する

についてまとめます。

    

等積移動:同じ面積の所に移動させて計算しやすくする

(関連記事)

おうぎ形の面積の求め方2つと葉っぱ(レンズ)形の面積の求め方3つ!

「補助線を引く」に加えて、

●同じ面積の所を移動させる●(等積移動)

というものを覚えてください。

理屈としては、等積移動は、そのままでは面積を求めづらい問題を解く

ために、図形の一部を移動させ、おうぎ形や三角形、四角形を作って

面積を求めます

文字で書かれても???ですよね?図を見て理解しましょう。

ある程度パターン化されているので、何度もやっていると覚えてしまえ

ます。

また、中学受験の算数入試問題レベルになると、等積移動させないと、

あるいはパターンを知らないと(少なくとも時間内には)解けない問題

というのが基本になっていたりします・・・。世知辛い世の中ですね。

【補助線+等積移動:補助線を引いて等積移動する】

出典:『塾技100算数』p72

上記の図でいうと、

1 左下のおうぎ形の面積を等積移動させ、右のおうぎ形を作る

2 大きいおうぎ形の面積を求める

3 「2」の面積から三角形の面積を引く

【ヒポクラテスの三日月(直角二等辺三角形):三日月の面積=直角三角形の面積】

図形で直角三角形と円が出てきたら「ヒポクラテスの三日月」か?

と考えるようにしましょう。

この「ヒポクラテスの三日月」の形はそのまま出てくる事もよくあります。

直角三角形であれば必ず

(上の)三日月の面積=直角三角形の面積

になります。

黄色部分の面積を求める場合、直角三角形の面積を求めるだけでもOKです。

圧倒的に時間が節約できます。

結論から書くと、黄色の三日月部分の面積は直角三角形の面積と

同じなので、3×4÷2=6 6cm²です。

「ヒポクラテスの三日月:三日月の面積=直角三角形の面積」を

知らない場合、以下のような解き方になります。証明ですね。

1 全ての面積を求める:三角形+直径4cmの半円+直径3cmの半円

2 「1」から直径5cmの半円の面積を引く

(3×4÷2)+(2×2×3.14÷2)+(1.5×1.5×3.14÷2)=

=6+6.28+3.5325

=15.8125 (全部の面積)

2.5×2.5×3.14÷2=9.8125

15.8125-9.8125=6 6cm²

面倒ですよね?

ここでもう一度式を見てみますと、

(3×4÷2)+(2×2×3.14÷2)+(1.5×1.5×3.14÷2)ー(2.5×2.5×3.14÷2)

はい!「3.14÷2を使って分配法則使えるんじゃね?」と思った方、ヒポクラテス

並の算数のセンスですね。

(3×4÷2)+(2×2×3.14÷2)+(1.5×1.5×3.14÷2)ー(2.5×2.5×3.14÷2)

=(3×4÷2)+(2×2+1.5×1.5ー2.5×2.5)×3.14÷2

=(3×4÷2)+(4+2.25-6.25)×3.14÷2

=(3×4÷2)+×3.14÷2

=(3×4÷2)

分かりましたかね?

1 全ての面積を求める:三角形+直径4cmの半円+直径3cmの半円

2 「1」から直径5cmの半円の面積を引く

をしていくと、途中で「三角形だけの面積が答え」に必ずなります。

理由は「三平方の定理」です。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)は中学受験では出ませんので、

詳細は知らなくても良いですが、直角三角形の3辺の長さの公式です。

=(3×4÷2)+(4+2.25-6.25)×3.14÷2

上記の問題では、上の部分ですね。必ず0になります

ですので、直角三角形であれば、「ヒポクラテスの三日月」が

使えます。

(上の)三日月の面積=直角三角形の面積

になります。

黄色部分の面積を求める場合、直角三角形の面積を求めるだけでもOKです。

圧倒的に時間が節約できます。

また、以下の図は同じ「ヒポクラテスの三日月」で、等積移動でもあります。

出典:『塾技100算数』p72

上の三日月の面積=直角三角形の面積です。

また、ア+イ=ウ+エです。

図形で直角三角形と円が出てきたら「ヒポクラテスの三日月」か?

と考えるようにしましょう。

    

図形の解き方:共通部分を利用する

図形の面積を求める場合、その面積だけでは分からないが、全体の

一部として捉えて、共通部分(重なり)を含めた大きな形で考える

と分かる場合がよくあります。

出典:『塾技100算数』p72

上記の□cmを求めてみましょう。半径6cmのおうぎ形と長方形の

組み合わせです。アとイの面積は等しいです。円周率は3.14 

1)図のように重なり部分を「ウ」とすると良いでしょう

2)ア+ウ=イ+ウ

3)ア+ウ=6×6×3.14×90/360=28.26

4)イ+ウ=8×□=28.26→□=28.26÷8=3.5325

答え)3.5325cm

 

図形を解く工夫の問題

問題)四天王寺中学校

1辺の長さ8cmの正方形の中に、円の4分の1があります。アとイの面積

の差は何cm²ですか?円周率は3.14で計算してください。

上記のように分かる部分に数字を書き込む+必要な部分に記号(ウ)

を書き込むのは図形問題を解く際の基本です。

考え方)

アーイ=(ア+ウ)-(イ+ウ)

=(8×8×3.14×1/4ー5×6÷2)ー(3×7÷2)

=(16×3.14-15)ー21/2

=50.24-15-10.5

=35.24-10.5

=24.74

答え)24.74cm²

円周率の倍数は暗記する!

平面図形の面積の求め方(基本編)

円と正方形で覚えるルールはこの2つ!

おうぎ形の面積の求め方2つと葉っぱ(レンズ)形の面積の求め方3つ!

図形を解く工夫:等積移動・共通部分の利用